Cuando estudiamos el análisis de la estado transitorio y respuesta de estado estacionario del sistema de control es muy esencial conocer algunos términos básicos, que se describen a continuación.
Señales de entrada estándar : También se conocen como señales de entrada de prueba. La señal de entrada es de naturaleza muy compleja, es compleja porque puede ser una combinación de varias otras señales. Por lo tanto, es muy difícil analizar el rendimiento característico de cualquier sistema aplicando estas señales. Por lo tanto, utilizamos señales de prueba o señales de entrada estándar que son muy fáciles de tratar. Podemos analizar fácilmente el rendimiento característico de cualquier sistema más fácilmente en comparación con las señales de entrada no estándar. Ahora hay varios tipos de señales de entrada estándar y están escritas a continuación:
Unidad de Impulso de Señal : En el dominio del tiempo está representado por (t). El La transformación de Laplace de la función de impulso unitario es 1 y la correspondiente forma de onda asociada a la función de impulso unitario se muestra a continuación.
Unidad de paso de la señal : En el dominio del tiempo está representado por u (t). La transformación Laplace de la función de paso de unidad es 1/s y la correspondiente forma de onda asociada a la función de paso de unidad se muestra a continuación.
Señal de la rampa de la unidad: En el dominio del tiempo está representado por r (t). La transformación Laplace de la función de rampa de la unidad es 1/s2 y la correspondiente forma de onda asociada a la función de rampa de la unidad se muestra a continuación.
Señal de tipo parabólico : En el dominio del tiempo está representado por t2/2. La transformación Laplace de tipo parabólico de la función es 1/s3 y la correspondiente forma de onda asociada al tipo parabólico de la función se muestra a continuación.
Señal de tipo sinusoidal : En el dominio del tiempo se representa por el pecado (t). La transformación Laplace de tipo sinusoidal de la función es / (s2 +2) y la correspondiente forma de onda asociada al tipo sinusoidal de la función se muestra a continuación.
Tipo de señal del coseno: En el dominio del tiempo está representado por cos (t). La transformación Laplace del tipo de coseno de la función es / (s2 +2) y la correspondiente forma de onda asociada al tipo de coseno de la función se muestra a continuación,
Ahora están en condiciones de describir los dos tipos de respuestas que son una función del tiempo.
Respuesta transitoria del sistema de control
Como el nombre sugiere respuesta transitoria del sistema de control significa cambiar, por lo que esto ocurre principalmente después de dos condiciones y estas dos condiciones se escriben de la siguiente manera-
- Condición uno : Justo después de encender el sistema eso significa que en el momento de la aplicación de una señal de entrada al sistema.
- Condición segunda : Justo después de cualquier condición anormal. Las condiciones anormales pueden incluir cambios repentinos en la carga, cortocircuitos, etc.
Respuesta de estado estable del sistema de control
El estado estable se produce después de que el sistema se asienta y en el sistema estable comienza a funcionar normalmente. Respuesta de estado estable del sistema de control es una función de la señal de entrada y también se llama respuesta forzada.
Ahora la respuesta de estado transitorio de sistema de control da una clara descripción de cómo funciona el sistema durante estado transitorio y respuesta de estado estacionario del sistema de control da una clara descripción de cómo funciona el sistema durante el estado estacionario. Por lo tanto, el análisis temporal de ambos estados es muy esencial. Analizaremos por separado ambos tipos de respuestas. Analicemos primero la respuesta transitoria. Para analizar la respuesta transitoria, tenemos algunas especificaciones de tiempo y están escritas como sigue:
Tiempo de demora : Este tiempo está representado por td. El tiempo requerido por la respuesta para alcanzar el cincuenta por ciento del valor final por primera vez, este tiempo se conoce como tiempo de demora. El tiempo de retardo se muestra claramente en la curva de especificación de la respuesta de tiempo.
Hora de levantarse: Este tiempo está representado por try puede ser calculado usando el fórmula del tiempo de subida. Definimos el tiempo de subida en dos casos:
- En el caso de los sistemas amortiguados en los que el valor de es inferior a uno, en este caso el tiempo de subida se define como el tiempo requerido por la respuesta para alcanzar desde el valor cero hasta el valor del cien por cien del valor final.
- En el caso de sistemas sobrehumedecidos en los que el valor de es mayor que uno, en este caso el tiempo de subida se define como el tiempo que requiere la respuesta para alcanzar desde el valor del diez por ciento hasta el valor del noventa por ciento del valor final.
Hora pico: Este tiempo está representado por tp. El tiempo requerido por la respuesta para alcanzar el valor máximo por primera vez, este tiempo se conoce como hora pico. El tiempo pico se muestra claramente en la curva de especificación de la respuesta temporal.
Tiempo de asentamiento: Este tiempo está representado por tsy puede ser calculado usando el fórmula del tiempo de asentamiento. El tiempo que requiere la respuesta para alcanzar y dentro del rango especificado de aproximadamente (dos a cinco por ciento) de su valor final por primera vez, este tiempo se conoce como tiempo de asentamiento. El tiempo de asentamiento se muestra claramente en la curva de especificación de la respuesta de tiempo.
Sobregiro máximo: Se expresa (en general) en porcentaje del valor de estado estacionario y se define como la máxima desviación positiva de la respuesta con respecto a su valor deseado. Aquí el valor deseado es el valor de estado estacionario.
Error de estado estable: Definido como la diferencia entre la producción real y la producción deseada, ya que el tiempo tiende al infinito. Ahora estamos en posición de hacer un análisis de respuesta temporal de un sistema de primer orden.
Estado transitorio y respuesta en estado estable del sistema de control de primer orden
Consideremos el diagrama de bloques del sistema de primer orden.
A partir de este diagrama de bloques podemos encontrar en general función de transferencia que es de naturaleza lineal. La función de transferencia del sistema de primer orden es 1/((sT+1)). Vamos a analizar el estado estable y la respuesta transitoria del sistema de control para la siguiente señal estándar.
- Impulso de la unidad.
- Paso de unidad.
- Rampa de la unidad.
Unidad de respuesta a los impulsos : Tenemos la transformación Laplace del impulso de la unidad es 1. Ahora vamos a dar esta entrada estándar a un sistema de primer orden, tenemos
Ahora tomando la transformación Laplace inversa de la ecuación anterior, tenemos
Está claro que el respuesta de estado estacionario del sistema de control depende sólo de la constante de tiempo T y está decayendo en la naturaleza.
Unidad de respuesta de paso : Tenemos la transformación Laplace del impulso de la unidad es de 1/s. Ahora vamos a dar esta entrada estándar al sistema de primer orden, tenemos
Con la ayuda de la fracción parcial, tomando la transformación de Laplace inversa de la ecuación anterior, tenemos
Está claro que la respuesta temporal depende sólo de la constante de tiempo T. En este caso el error de estado estacionario es cero poniendo el límite t tiende a cero.
Respuesta de la rampa de la unidad : Tenemos la transformación Laplace del impulso de la unidad es de 1/s2. Ahora vamos a dar esta entrada estándar al sistema de primer orden, tenemos
Con la ayuda de la fracción parcial, tomando la transformación de Laplace inversa de la ecuación anterior tenemos
Al trazar la función exponencial del tiempo tenemos T poniendo el límite t tiende a cero.
Estado de Transición y Respuesta en Estado Estable del Sistema de Control de Segundo Orden
Consideremos el diagrama de bloques del sistema de segundo orden.
En este diagrama de bloques podemos encontrar la función de transferencia global que es de naturaleza no lineal. La función de transferencia del sistema de segundo orden es (2) / {s (s + 2 )}. Vamos a analizar el respuesta de estado transitorio del sistema de control para la siguiente señal estándar.
Unidad de Respuesta a Impulsos : Tenemos la transformación Laplace del impulso de la unidad es 1. Ahora vamos a dar esta entrada estándar al sistema de segundo orden, tenemos
Donde, es la frecuencia natural en rad/segundo y es la relación de amortiguamiento.
Unidad de respuesta de paso : Tenemos la transformación Laplace del impulso de la unidad es de 1/s. Ahora vamos a dar esta entrada estándar al sistema de primer orden, tenemos
Ahora veremos el efecto de diferentes valores de en la respuesta. Tenemos tres tipos de sistemas en base a diferentes valores de .
- Bajo el sistema amortiguado : Se dice que un sistema está bajo un sistema amortiguado cuando el valor de es menor que uno. En este caso las raíces son de naturaleza compleja y las partes reales son siempre negativas. El sistema es asintóticamente estable. El tiempo de subida es menor que en el otro sistema con la presencia de un sobregiro finito.
- Sistema críticamente amortiguado: Se dice que un sistema es un sistema críticamente amortiguado cuando el valor de es uno. En este caso las raíces son reales en la naturaleza y las partes reales son siempre repetitivas en la naturaleza. El sistema es asintóticamente estable. El tiempo de subida es menor en este sistema y no hay presencia de sobregiro finito.
- Sistema sobrehumedecido: Se dice que un sistema está sobreamortiguado cuando el valor de es mayor que uno. En este caso las raíces son reales y distintas en la naturaleza y las partes reales son siempre negativas. El sistema es asintóticamente estable. El tiempo de subida es mayor que el del otro sistema y no hay presencia de sobreimpulso finito.
- Oscilaciones sostenidas : Se dice que un sistema se mantiene amortiguado cuando el valor de zeta es cero. En este caso no hay amortiguación.
Ahora vamos a derivar las expresiones para el tiempo de subida, hora pico, sobregiro máximo, tiempo de asentamiento y error de estado estacionario con una entrada de paso de unidad para el sistema de segundo orden.
Tiempo de ascenso : Para derivar la expresión para el tiempo de ascenso tenemos que equiparar la expresión para c(t) = 1. De lo anterior tenemos
Al resolver la ecuación anterior tenemos una expresión para el tiempo de ascenso igual a
Hora pico : Al diferenciar la expresión de c(t) podemos obtener la expresión para el tiempo de pico. dc(t)/ dt = 0 tenemos la expresión para el tiempo de pico,
Sobregiro máximo : Ahora está claro de la figura que el máximo sobregiro ocurrirá en la hora pico tp por lo tanto al poner el valor de la hora pico obtendremos el máximo sobregiro como
Tiempo de asentamiento : El tiempo de asentamiento está dado por la expresión
Error de estado estable: El error de estado estacionario es la diferencia entre la salida real y la salida deseada, por lo que en el tiempo que tiende al infinito el error de estado estacionario es cero.
